世界杯抽签分组背后的数学问题

世界杯抽签分组背后的数学问题

每届世界杯开始之前，除了赛程、阵容和夺冠热门，还有一个很受关注的环节：小组抽签。

在观众眼里，抽签似乎是一件很简单的事：几位嘉宾站在台上，从不同的罐子里抽出球队名字，然后依次放进各个小组。这个过程看起来随机、公开、透明，也很有仪式感。

但从数学角度看，世界杯抽签并不只是“把球抽出来”那么简单。它背后涉及组合设计、概率分布、约束条件和公平性问题。László Csató 在论文 How to optimise tournament draws: The case of the FIFA World Cup (https://arxiv.org/abs/2505.13106) 中，就专门研究了世界杯抽签规则如何优化 [1]。

这篇文章的核心问题可以概括为：

世界杯抽签看起来是随机的，但它真的公平吗？

1 世界杯分组抽签

世界杯小组赛通常采用分组循环赛。参赛球队先被分入若干小组，每组内部进行单循环比赛，然后根据积分排名决定哪些球队晋级淘汰赛。

如果完全不加限制，直接随机分组，可能会出现两个问题。

第一，强队可能集中到同一个小组。比如几支世界排名很高的球队被分在一起，而另一个小组整体实力较弱。这样会导致各组竞争难度差异过大，影响晋级公平性。Guyon 对 2014 年世界杯抽签的研究就指出，抽签规则可能造成小组实力不平衡，从而影响赛事公平性 [2]。

第二，同一大洲球队可能频繁相遇。世界杯是世界性赛事，组织者通常希望小组赛尽量多出现跨洲对决，而不是让同一大洲的球队过早相遇。毕竟，同洲球队在预选赛、洲际赛事中已经经常交手，世界杯更强调不同足球文化之间的碰撞。

因此，世界杯抽签并不是完全随机，而是带有规则的随机。这些规则大致服务于三个目标：

平衡性：每个小组实力尽量接近；

透明性：抽签过程要能被观众看懂；

公平性：所有合法分组结果应当尽量等概率出现。

问题在于，这三个目标并不总是兼容。尤其是在加入地理大洲回避规则之后，抽签就会从一个简单随机过程，变成一个带约束的随机分配问题。

2 球队分档和地理回避原则

为了保证各组实力大致均衡，世界杯通常会使用“分档”或“种子队”制度。

以 2018 年和 2022 年世界杯为例，32 支球队被分成 4 个档次，每档 8 支球队。第 1 档通常包含东道主和排名最高的强队，第 2 档包含接下来排名较高的球队，以此类推。抽签时，每个小组从每个档次中各抽出一支球队。

这样做的目的，是避免一个小组里同时出现太多强队，也避免另一个小组过弱。

除了分档，世界杯还设置了地理回避规则。按照 FIFA 在 2018 年和 2022 年世界杯抽签中的规则，论文将这些地理限制概括为五类约束 [1][5]：

A：每组最多只能有一支亚洲足联 AFC 球队；

B：每组最多只能有一支非洲足联 CAF 球队；

C：每组最多只能有一支中北美及加勒比足联 CONCACAF 球队；

D：每组最多只能有一支南美足联 CONMEBOL 球队；

E：每组必须有 1 到 2 支欧洲足联 UEFA 球队。

到了 2026 年美加墨世界杯，还加入了一个新的“强队路径回避”设计：FIFA 根据抽签前的世界排名，将排名最高的4支球队分散到不同的淘汰赛路径中，使它们在正常取得小组第一的情况下，尽量不会过早相遇：例如当时世界排名前2名的阿根廷和西班牙，只要分别取得各自小组的第一，那么淘汰赛就会被分到不同半区，保证其只会在决赛或者季军赛相遇。通俗地说，这是进一步控制强队未来在淘汰赛中的潜在相遇位置。

这些规则看上去都很合理。比如，欧洲球队数量较多，如果不加限制，某些小组可能会出现太多欧洲队；而对于亚洲、非洲、南美等大洲，也希望尽量避免同洲球队过早相遇。但是，一旦加入这些约束，抽签就变成了一个数学上的带约束随机分配问题。

3 公平抽签

从数学上说，一个抽签机制是否公平，关键不在于它是不是“现场抽球”，而在于它是否接近均匀分布。

设所有满足规则的合法分组结果构成集合 \(\mathcal S\)。如果抽签是完全公平的，那么每一个合法结果 \(s\in\mathcal S\) 出现的概率都应该相等，即

\[P(s)=\frac{1}{|\mathcal S|},\quad s\in \mathcal S.

\]

这就叫均匀抽签。

注意，这里讨论的不是所有可能分组，而是所有“合法分组”。如果某个分组违反了地理回避规则，比如同组出现两支南美球队，那么它根本不属于 \(\mathcal S\)。公平性的要求是：在所有合法分组之间，每一种结果都应该等可能。

这听起来很自然，但实际操作却不容易。因为世界杯抽签不仅要公平，还要透明、好看。观众希望看到嘉宾一个球一个球地抽出来，而不是让电脑直接生成一个结果。可是，当抽签过程是一步一步进行时，前面抽出的球队会限制后面球队的可选位置。这样一来，抽签顺序、组别标签和约束条件之间就会发生复杂作用。因此

每一步看起来都随机，但整体结果并不均匀。

Roberts 和 Rosenthal 曾专门研究足球抽签中的概率偏差和修正方法，指出一些看似自然的抽签机制并不能保证所有合法结果等概率出现 [3]。Csató 后续关于世界杯抽签公平性的研究也进一步表明，抽签顺序和具体机制会影响球队之间的相遇概率 [4]。

四、Skip 机制

2018 年和 2022 年世界杯使用的是一种被称为 Skip mechanism 的抽签机制。Guyon 曾在讨论 2018 年世界杯抽签改革时介绍过这种机制，认为它相较 2014 年抽签已经有明显改进，但仍然不能完全消除概率偏差 [6]。

Skip 机制的大致思想是：按照档次依次抽球队。如果某支球队被抽出来后，不能放进当前小组，就跳过这个小组，把它放进下一个可行小组。

举一个简化例子。假设现在要把一支亚洲球队放入某个小组，但 A 组已经有亚洲球队了，那么它不能进入 A 组，就需要跳到 B 组；如果 B 组也不行，就继续往后找，直到找到一个不违反规则的小组。这就是 “Skip” 的含义：跳过不可行的小组。

不过，真实抽签比这个例子复杂得多。因为有时候，一个位置虽然当前看起来合法，但如果把球队放进去，后面剩下的球队就可能无法完成合法分配。论文把这种情况称为需要避免的 deadlock situation，也就是“死局”。因此，电脑不能只看当前一步，而要预判后续是否仍存在至少一个合法完成方案。

2026 年美加墨世界杯抽签中，就出现过一个经典案例。当乌兹别克斯坦被抽出时，观众原本可能会以为它会进入 I 组，因为当时 I 组已有法国和塞内加尔，表面上看并没有直接的亚洲球队冲突。但最终，抽签软件并没有把乌兹别克斯坦放入 I 组，而是跳过该组，将其分入 K 组，与葡萄牙、哥伦比亚同组。原因在于，带约束抽签不只检查“当前放进去是否立刻违规”，还要检查“这样放进去之后，剩余球队是否仍然能够完成一个合法分组”；如果某个选择会导致后续分配无解，就违反了抽签的全局可行性原则。这个结果一度让不少球迷感到困惑，但从数学上看，这正是带约束抽签的典型现象：某个小组在局部看似可行，但从后续剩余球队和整体约束来看，未必仍然可行。因此，电脑需要实时判断哪些位置真正可用，必要时就会跳过当前小组，把球队放入下一个可行小组。

因此，Skip 机制背后其实需要电脑进行可行性检查。现场看起来是嘉宾抽球，实际上后台需要算法判断哪些小组可以放，哪些小组必须跳过。这种方法的优点是：它比较透明，也比较适合电视直播。但缺点是：它不一定产生均匀分布。

5 Skip 机制为什么可能产生偏差？

Skip 机制的问题在于，它是一个顺序机制。球队是一个接一个被抽出来的，小组也是按照 A、B、C、D……这样的顺序被检查的。但是，正因为 Skip 机制是按照顺序一步步执行的，它并不保证所有合法分组结果等概率出现。

为了看清楚这一点，论文给了一个例子。假设有 6 支球队，分成 3 个档次：

Pot 1：球队 1、2；

Pot 2：球队 3、4；

Pot 3：球队 5、6。

现在要分成两个小组 A、B，每个小组从每个档次中各取一队。同时设定一个额外约束：

球队 2、4、6 中，不能有三支都在同一个小组。

如果不考虑小组名称，只看球队 1 和谁同组，那么合法结果有三种：

球队 1 与球队 3、6 同组；

球队 1 与球队 4、5 同组；

球队 1 与球队 4、6 同组。

因此，在真正均匀的合法抽签中，球队 1 和球队 4 同组的概率应该是\(\frac{2}{3}.\) 可是，如果使用 Skip 机制，从 Pot 1 抽到 Pot 3 依次进行，这个约束只有在抽到 Pot 3 时才真正发挥作用。前面的抽签过程没有提前“平均地”考虑所有合法结果。论文计算得到，在这个顺序机制下，球队 1 和球队 4 同组的概率变成\(\frac{1}{2}.\)

这就是 Skip 机制可能产生偏差的本质原因：

Skip 机制保证结果合法，但不保证所有合法结果等概率出现。

用数学语言说，设所有合法分组构成集合 \(\mathcal S\)。真正均匀抽签要求

\[P(s)=\frac{1}{|\mathcal S|},\quad s\in \mathcal S.

\]

但 Skip 机制产生的是另一个概率分布。某些合法结果可能有更多“抽签路径”通向它，某些合法结果则更少，因此最终概率不一定相同。

论文用两种指标衡量这种偏差。设 \(p^U_{ij}(\mathcal C)\) 表示在约束集合 \(\mathcal C\) 下，如果使用真正均匀抽签，球队 \(i\) 和球队 \(j\) 被分到同一组的概率；设 \(p^S_{ij}(\mathcal C)\) 表示使用 Skip 机制时，两队同组的概率。

如果这两个概率差得很大，就说明 Skip 机制对这两支球队之间的相遇概率造成了扭曲。

论文定义平均偏差：

\[\Delta(\mathcal C)=100\cdot \frac{\sum_{i,j}|p^U_{ij}(\mathcal C)-p^S_{ij}(\mathcal C)|}{\#\{(i,j):p^U_{ij}(\mathcal C)>0\}},

\]

以及最大偏差：

\[\Omega(\mathcal C)=100\cdot \max_{i,j}|p^U_{ij}(\mathcal C)-p^S_{ij}(\mathcal C)|.

\]

这两个指标可以这样理解：

\(\Delta(\mathcal C)\) 衡量整体平均偏差；

\(\Omega(\mathcal C)\) 衡量最严重的一对球队被扭曲了多少。

平均偏差越小，说明总体越接近均匀抽签；最大偏差越小，说明没有哪一对球队被特别严重地影响。

文章进一步考虑了另一个指标：同大洲球队在小组赛中相遇的平均次数，记为 \(\Psi(\mathcal C)\)。同洲比赛越少，跨洲对决越多，比赛多样性越强。于是，组织者面对的是一个权衡问题：

\[\min_{\mathcal C}\ \alpha\cdot 10\Delta(\mathcal C)+(1-\alpha)\cdot \Psi(\mathcal C),

\]

或者

\[\min_{\mathcal C}\ \alpha\cdot \Omega(\mathcal C)+(1-\alpha)\cdot \Psi(\mathcal C).

\]

这里的 \(\alpha\) 表示组织者更重视哪一边：

如果 \(\alpha\) 越大，说明更重视抽签公平性；

如果 \(\alpha\) 越小，说明更重视减少同洲比赛、增加跨洲对决。

所以，这篇文章指出：Skip 机制是一种透明、可操作、能保证合法性的机制，但它牺牲了严格意义上的均匀性。

6 欧洲球队规则为什么最麻烦？

论文的一个重要发现是：在五类地理约束中，最容易制造抽签偏差的是欧洲球队规则，也就是约束 E： 每个小组必须有 1 到 2 支欧洲足联 UEFA 球队。 这里需要注意，欧洲球队规则之所以麻烦，主要不是因为欧洲球队实力强，而是因为这个约束在数学结构上更复杂。

对于亚洲、非洲、中北美、南美球队，规则 A–D 的形式都是： 每个小组最多只能有一支来自该大洲的球队。这种约束本质上是“禁止同大洲球队成对出现在同一组”。比如两支南美球队不能同组，两支亚洲球队不能同组。它们主要是 上界约束，可以理解为若干个“禁止配对”。

但欧洲球队规则不同。由于欧洲球队数量太多，FIFA 不只是限制“不能太多”，还要求“不能太少”。因此约束 E 实际上包含两个部分：

\(E_1\)：每组至少有一支欧洲球队；

\(E_2\)：每组最多有两支欧洲球队。

也就是说，欧洲规则既有下界，又有上界：

\[1\leq \#\{\text{某组中的 UEFA 球队}\}\leq 2.

\]

这比“最多一个”复杂得多。

这时，抽签程序必须保证 8 个小组最后都能分到欧洲队。如果前面几个小组消耗了太多欧洲队，后面某些小组可能就无法满足“至少一支欧洲队”的要求；如果某些小组已经有两支欧洲队，后面欧洲队又不能再进入这些小组。

因此，约束 E 会让抽签产生更多“当前可行但后续不可行”的情形。电脑不仅要判断眼前有没有超过 2 支欧洲队，还要判断后面是否还来得及给所有小组补足欧洲队。这正是 Skip 机制最容易产生路径依赖和概率偏差的地方。

论文的附录还对 2018 年世界杯中的欧洲规则做了具体计算。2018 年世界杯共有 14 支欧洲队参赛，分布在 4 个档次中，其中第 1 档有 6 支，第 2 档有 4 支，第 3 档有 3 支，第 4 档有 1 支。作者把约束 E 拆成 \(E_1\) 和 \(E_2\) 分析后发现，在随机无约束抽签中：

\[P(E_1)\approx 56.41\%,~P(E_2)\approx 6.665\%,~P(E)\approx 6.059\%.

\]

也就是说，在 2018 年世界杯的队伍构成下，如果先完全随机分组，再检查是否满足欧洲规则，那么只有大约 \(6.059\%\) 的结果能同时满足“每组至少一支欧洲队”和“每组最多两支欧洲队”。这说明约束 E 非常强。它大幅缩小了合法分组空间，也让顺序抽签机制更容易产生非均匀性。论文的模拟进一步表明：如果不使用约束 E，Skip 机制产生的偏差较小；一旦加入约束 E，平均偏差 \(\Delta(\mathcal C)\) 和最大偏差 \(\Omega(\mathcal C)\) 都会显著上升。

作者还指出，约束 E 对 Skip 机制特别困难，因为它允许同一集合中的多支球队进入同组，但又不能超过上限；相比之下，A–D 这类“最多一支”的规则更接近简单的禁止配对，处理起来更稳定。所以，欧洲球队规则最麻烦的根本原因是：

它不是单纯的“不能同组”，而是同时要求“每组至少有欧洲队”和“每组不能有太多欧洲队”。

这类上下界约束会强烈影响后续分配空间。某个早期选择可能立刻看不出问题，但会让后面无法完成合法分组。Skip 机制为了避免死局，就必须不断跳过某些小组，由此带来更强的顺序效应和概率偏差。这也说明：规则确实减少了同洲内战，但也可能在抽签概率上制造新的不公平。

7 东道主预先分到 A 组为什么会增加不公平？

世界杯抽签还有一个传统做法：东道主通常会被直接放进 A 组。这在赛程安排上很方便。东道主踢揭幕战，所在小组叫 A 组，也符合观众习惯。但论文指出，从概率角度看，提前把东道主固定在 A 组会额外增加抽签偏差。

原因仍然和 Skip 机制的顺序性有关。在 Skip 机制中，A 组、B 组、C 组这些标签并不是纯粹的名字。程序检查小组时，会按照字母顺序寻找可行位置。因此，哪个小组叫 A，哪个小组叫 B，会影响后面球队被跳过或被放入的位置。如果东道主一开始就被固定在 A 组，那么 A 组从抽签开始就变成一个特殊小组。后续球队进入各组的概率，会受到“东道主已经在 A 组”这一事实影响。

论文中特别指出：如果东道主被自动放入 A 组，那么它与任意一支第 2 档球队同组的概率在 Skip 机制下会被固定为\(\frac{1}{8}=12.5\%.\)表面上看，这似乎很公平，因为第 2 档有 8 支球队，每支球队与东道主同组的概率都一样。

但问题在于，在真正均匀的合法抽签中，这些概率本来就不一定都等于 \(12.5\%\)。原因是地理约束会影响不同球队之间的可配对关系。比如第 1 档和第 2 档中可能都有南美球队，而两支南美球队不能同组。这样一来，不同第 2 档球队与不同第 1 档球队之间的可行性并不完全相同，均匀合法抽签下的同组概率也不必完全相同。换句话说，真正的公平不是“东道主对每支第 2 档球队都是 \(12.5\%\)”，而是“东道主和每支球队的相遇概率应该等于均匀合法抽签下的概率”。

这正是论文用 \(p^U_{ij}(\mathcal C)\) 和 \(p^S_{ij}(\mathcal C)\) 比较的原因。如果 Skip 机制下的概率 \(p^S_{ij}(\mathcal C)\) 偏离均匀抽签概率 \(p^U_{ij}(\mathcal C)\)，就说明它产生了扭曲。

作者认为，东道主其实没有必要在抽签开始前就被固定到 A 组。因为小组名称可以在抽签结束后再调整。也就是说，可以先让东道主像其他第 1 档球队一样正常参与抽签，等所有分组结束后，再把东道主所在的小组命名为 A 组。两者在赛程包装上几乎没有区别，但在概率结构上差别很大。

前一种做法会让 A 组从一开始就具有特殊地位，并把 Skip 机制对组别标签的敏感性集中到东道主身上。后一种做法则把东道主所在小组随机化，等抽签结束后再重新命名，从而消除由组别标签造成的额外偏差。

论文的模拟结果显示，这个简单修改能明显降低东道主相关的抽签扭曲。对于 2018 年世界杯，作者方案使俄罗斯的相关偏差减少约 \(85\%\)；对于 2022 年世界杯，使卡塔尔的相关偏差减少约 \(44\%\)。同时，它基本不会恶化其他球队的处境。

九、总结

这篇文章真正想说明的是：一个抽签过程即使公开透明，也未必在数学上公平。

很多人会把“现场抽球”等同于“随机”，再把“随机”等同于“公平”。但数学告诉我们，这三个概念并不完全相同。现场抽球，只说明过程看起来透明；随机抽球，只说明某些局部步骤有随机性；真正公平，还要求所有合法结果的概率尽量一致。

如果一个抽签机制因为约束条件、检查顺序、跳过规则和组别标签而系统性地偏向某些结果，那么它就不是严格意义上的均匀抽签。这篇文章把世界杯抽签拆成一个数学优化问题，研究了 32 种可能的地理约束组合，并比较它们在两方面的表现：

抽签是否接近均匀；

小组赛是否尽量避免同洲对决。

最后得出的结论是：世界杯抽签规则的设计，本质上是在公平性和比赛吸引力之间做权衡。但是：

1. 地理回避规则有它的合理性，但付出了计算上的代价；

2. 东道主预分到 A 组看似自然，却可能增加概率扭曲；

3. Skip 机制虽然透明可操作，但并不保证均匀分布。

世界杯是足球比赛，但世界杯赛制本身也是一个数学问题。小组怎么分，抽签按什么顺序进行，都会影响球队的晋级概率和比赛公平性。

对于普通观众来说，抽签仪式可能只是一场热闹的电视节目；但对于数学家和运筹学研究者来说，它是一个包含约束、概率、模拟和优化的复杂系统。足球场上的胜负由球员决定。但球队通往球场的路径，有时早在抽签规则里就已经被悄悄改变了。

参考文献

[1] Csató, L. How to optimise tournament draws: The case of the FIFA World Cup. arXiv:2505.13106, 2026.

[2] Guyon, J. Rethinking the FIFA World Cup final draw. Journal of Quantitative Analysis in Sports, 2015.

[3] Roberts, G. O., and Rosenthal, J. S. Football group draw probabilities and corrections. The Canadian Journal of Statistics, 2024.

[4] Csató, L. The fairness of the group draw for the FIFA World Cup. International Journal of Sports Science & Coaching, 2025.

[5] FIFA. Draw procedures for the FIFA World Cup 2018 and FIFA World Cup Qatar 2022. 2017, 2022.

[6] Guyon, J. Pourquoi la Coupe du monde est plus équitable cette année. The Conversation, 2018.